درسنامه آموزشی فصل پنجم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی
درس 5: پیوستگی
فعالیت (صفحه 145 کتاب درسی)
الف) با توجه به نمودارها، مقادیر زیر هر نمودار را (در صورت وجود) بهدست آورید.
$\begin{gathered}
f(2) = .... \hfill \\
\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = .... \hfill \\
\end{gathered} $
$\begin{gathered}
g(2) = .... \hfill \\
\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = .... \hfill \\
\end{gathered} $
$\begin{gathered}
h(2) = .... \hfill \\
\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h(x) = .... \hfill \\
\end{gathered} $
$\begin{gathered}
k(2) = .... \hfill \\
\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} k(x) = .... \hfill \\
\end{gathered} $
ب) برای کدام یک از توابع، حد تابع در 2 با مقدار تابع در 2 برابر است؟
پ) در نمودار کدام یک از توابع، در نقطهای به طول 2، گسستگی وجود ندارد؟
همانطور که در شکلهای فوق مشاهده میکنید نمودار تابع $f$ (و همچنین تابع $k$) در نقطهای به طول 2، هیچ گسستگی ندارد. در این حالت اصطلاحاً گوییم «تابع $f$ (و همچنین تابع $k$) در نقطه $x = 2$ پیوسته است».
بنابراین، برای پیوسته بودن تابع $f$ در نقطه $a$، باید شرایط زیر برقرار باشند:
الف) تابع $f$ در $a$ تعریف شده باشد.
ب) حد تابع $f$ در $a$ موجود باشد.
پ) مقدار حد تابع $f$ در $a$ با مقدار $f(a)$ برابر باشد.
هنگامی که تابع $f$ در نقطه $x = a$ پیوسته نیست، گوییم $f$ در $x = a$ ناپیوسته است.
مثال: در بخش های قبل دیدیم که در هر نقطه $a$، $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \sin x = \sin a$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{a}$. پس توابع $y = \sin x$ و $y = \sqrt[3]{x}$ در هر عدد $a$، پیوستهاند.
همچنین توابع $y = \cos x$، $y = \left| x \right|$ و $y = {x^2}$ و نیز چندجملهایها در هر عدد حقیقی $a$ پیوستهاند. اما توابع $y = \frac{{\left| x \right|}}{x}$ و $y = \left[ x \right]$ این چنین نیستند. این مطلب را از روی نمودار این توابع نیز میتوان تشخیص داد.
مثال: توابع $f(x) = \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}$ و $g(x) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 3 \hfill \\
6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ داده شدهاند. درباره پیوستگی $f$ و $g$ در نقطه 3 بحث کنید.
حل: از آنجایی که $f$ در 3 تعریف نشده است، پس تابع $f$ در 3 پیوسته نیست.
در مورد تابع $g$ داریم:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\cancel{{(x - 3)}}(x + 3)}}{{\cancel{{(x - 3)}}}} = 6 = g(3)$
پس تابع $g$ در 3 پیوسته است.
کاردرکلاس (صفحه 147 کتاب درسی)
1) نمودار تابعی را رسم کنید که در نقطهٔ 3 تعریف نشده باشد اما حد تابع در $x = 3$ وجود داشته باشد. (توجه کنید که این تابع در $x = 3$ پیوسته نیست)
2) نمودار تابعی را رسم کنید که در نقطهای مانند $a$ تعریف شده باشد و حد تابع هم در نقطه $a$ موجود باشد اما با مقدار تابع در $a$ برابر نباشد. (توجه کنید که این تابع در $a$ پیوسته نیست).
3) نمودار تابعی را رسم کنید که در هر عدد حقیقی پیوسته باشد.
4) نمودار تابعی را رسم کنید که همه جا پیوسته باشد بهجز در دو نقطه.
فعالیت (صفحه 148 کتاب درسی)
نمودار تابع $f$ بهصورت زیر رسم شده است.
الف) تابع $f$ در کدام یک از نقاط مجموعه $\left\{ {1,2,2/5,3,4} \right\}$ ناپیوسته است.
ب) آیا تساوی $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = f(3)$ برقرار است؟
پ) آیا تساوی $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = f(3)$ برقرار است؟
ت) در کدام نقطه $a$ از مجموعه $\left\{ {1,2,2/5,3,4} \right\}$ تساوی $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)$ برقرار است؟
بنابراین، هرگاه تابع $f$ در یک همسایگی (دوطرفه) $a$ تعریف شده باشد:
مثال: تابع $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
3{x^2} + x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 0 \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \hfill \\
2\cos x - \sin x\,\,\,\,x \gt 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ داده شده است. پیوستگی تابع $f$ در صفر را بررسی کنید.
حل: داریم $f(0) = 2$. همچنین
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (3{x^2} + x) = 0 \ne f(0)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (2\cos x - \sin x) = 2\cos (0) - \sin (0) = 2 = f(0)$
بنابراین $f$ در صفر پیوسته نیست اما در صفر پیوستگی راست دارد.
کاردرکلاس (صفحه 149 کتاب درسی)
الف) با رسم نمودار تابع $f(x) = \left[ x \right]$ مشخص کنید که در کدام یک از نقاط مجموعه $\left\{ {0,\frac{1}{2},2} \right\}$،
1) تابع $f$ پیوسته است.
2) تابع $f$ پیوستگی راست دارد.
3) تابع $f$ پیوستگی چپ دارد.
ب) در شکلهای زیر نمودار دو تابع $f$ و $g$ در طرف چپ نقطه 2 رسم شدهاند. در نقطه $x = 2$ و در طرف راست نقطه 2، نمودارها را طوری تکمیل نمایید که:
1) تابع $f$ در نقطه 2 پیوستگی راست داشته باشد، اما در 2 پیوسته نباشد.
2) تابع $g$ در نقطه 2 پیوسته باشد.
کاردرکلاس (صفحه 150 کتاب درسی)
پیوستگی روی بازههای $\left[ {a,b} \right)$ و $\left( {a,b} \right]$ را بهطور مشابه تعریف کنید.
مثال:
1) تابع $f(x) = \sqrt x $ بر بازهٔ $\left[ {0,2} \right]$ پیوسته است.
2) تابع $f(x) = \left[ x \right]$ بر بازهٔ $(0,1)$ پیوسته است، اما بر بازهٔ بسته $\left[ {0,1} \right]$ پیوسته نیست.
کاردرکلاس (صفحه 150 کتاب درسی)
در شکل زیر نمودار تابع $f$ رسم شده است. کدام یک از عبارات زیر درست و کدام یک نادرست هستند؟
الف) تابع $f$ بر بازه $\left[ {1,2} \right]$ پیوسته است.
ب) تابع $f$ بر بازه $\left[ {3,4} \right]$ پیوسته است.
پ) تابع $f$ بر بازه $\left[ {0,2} \right]$ پیوسته است.
تمرین (صفحه 151 کتاب درسی)
1) با رسم نمودار توابع زیر، نقاط ناپیوستگی هر تابع را (در صورت وجود) تعیین کنید.
$y = \left| {x - 1} \right| + 2$ (الف
$y = x - \left[ x \right]$ (ب
$y = \left[ x \right] + \left[ { - x} \right]$ (پ
$y = \left\{ \begin{gathered}
x(x - 1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant 1 \hfill \\
- x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ (ت
2) در توابع زیر مقدار $a$ را طوری تعیین کنید که هر تابع در نقطه $x = 1$ پیوسته باشد.
$y = \left\{ \begin{gathered}
2x - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 1 \hfill \\
a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1 \hfill \\
- x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ (الف
$y = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 1 \hfill \\
a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ (ب
$y = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \lt x \lt 1 \hfill \\
\left[ x \right] + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \geqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ (پ
$k(x) = (\left[ x \right] - a)\left[ x \right]$ (ت
3) نشان دهید به ازای هیچ مقداری برای $a$، توابع زیر در $x = 0$ پیوسته نیستند.
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 0 \hfill \\
a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \hfill \\
2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ (الف
$g(x) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{ax}}{{\left| x \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0 \hfill \\
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ (ب
4) الف) نمودار یک تابع را رسم کنید طوری که در صفر ناپیوسته باشد ولی در صفر حد داشته باشد.
ب) نمودار یک تابع را رسم کنید طوری که در دو نقطه 2 و 3 ناپیوسته باشد و در این نقاط حد نداشته باشد.
پ) ضابطه یک تابع $f$ را بنویسید طوری که فقط در دو نقطه ناپیوسته باشد.
5) تابع $f(x) = \left[ x \right]$ در بازه $(2,k)$ پیوسته است. حداکثر مقدار $k$ چقدر است؟
6) بازهٔ بسته ای را ارائه کنید که تابع $f(x) = 2 - \sqrt {3 - x} $ بر آن بازه پیوسته باشد.
7) مقدار $a$ و $b$ را چنان تعیین کنید که تابع $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 0 \hfill \\
b - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \hfill \\
x - 2a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ در $x = 0$ پیوسته باشد.